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导数常用公式及练习题（最新最全）

常用导数公式表如下：c=0(c为常数）(x^a)=ax^(a-1),a为常

数且a≠0(a^x)=a^xlna(e^x)=e^x(lo

gax)=1/(xlna),a0且a≠1(lnx)=1/x(sinx)=cosx(cosx)=-

sinx(tanx)

=(secx)^2(secx)=secxtanx(cotx)=-(cscx)^2(cscx)=-

csxcotx(arcsin

x)=1/√(1-x^2)(arccosx)=-1/√(1-

x^2)(arctanx)=1/(1+x^2)(arccotx)

=-1/(1+x^2)(shx)=chx(chx)=shxd(Cu)=Cdud(u+-

v)=du+-dvd(uv)=vdu+

udvd(u/v)=(vdu-udv)/v^21．已知函数.（1）当时，求函数的极

值；（2）若，且恒成立，求实数的取值范围.2．已

知函数，，，令.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若关

于的不等式恒成立，求整数的最小值；3．已知函数，其中，为自然对

数的底数

.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意

的，.4．已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证

明：.5．已知函

数，其中且，为自然常数.（1）讨论的单调性和极值；（2）当时，

求使不等式恒成立的实数的取值范围.6．已知函数，且.（1）求的解析

式

；（2）证明：函数的图象在直线的图象下方.7．已知函数.（1）

函数在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间；（2）设函数的导

函

数为，对任意的，若恒成立，求的取值范围.8．设函数．（Ⅰ）

求函数的单调区间；（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；

若不存在，请

说明理由；（Ⅲ）当时，证明：．9．已知函数．（Ⅰ）求函数的

单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取

值，使得存在

，当时，恒有．参考答案1．（1）函数极小值为，无极大值；

（2）.【解析】试题分析：（1）当时，，通过二次求导可知函数在上

单调递增，

且，所以当时，当时，因此函数在区间上单调递减，在区间上单

调递增，所以的极小值点为，无极大值点；（2）对函数求导可得，分

和讨论，显然

时，，函数在上单调递增，研究图象可知一定存在某个，使得在

区间上函数的图象在函数的图象的下方，即不恒成立，舍去；当时，

函数在区间上单

调递减，在区间上单调递增，，解得.试题解析：（1）函数的定

义域是,当时，,易知函数的定义域是上单调递增函数，且,所以令，得；

令，得

，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数极小

值为，无极大值.（2），则.①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，

且数形

结合易知，一定存在某个，使得在区间上，函数的图象在函数的

图象的下方，即满足的图象即.所以不恒成立，故当时，不符合题意，

舍去；②当时

，令，得；，得；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递

增.所以函数定义域上的最小值为.若恒成立，则需满足，即，即，即.又

因为，所

以，解得，所以.综上，实数的取值范围是.考点：利用导数研究函

数的单调性及极值、最值.2．（1）；（2）最小值为．【解析】试题

分析：

（1）当时,对求导求其单调增区间；（2）先化简为,恒成立问题,

转化为求的最大值来求解.试题解析：（1），，，（）.由得又，所以，

所

以的单增区间为.（2）令.所以当时，因为，所以所以在上是递增

函数，又因为.所以关于的不等于不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；

当

时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，

因为，.又因为在上是减函数，所以当时，，所以整数的最小值为

2.3．（1

）函数在上为减函数；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）

对函数求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数的单调性；（2）

对

任意的，等价于对任意的，,再构造函数,求导,利用导数,求出的最

大值小于零.试题解析：解：（1）当时，，，，∵当时，，∴.∴在上为

减

函数.（2）设，，，令，，则，当时，，有，∴在上是减函数，即

在上是减函数，又∵，，∴存在唯一的，使得，∴当时，，在区间单调

递增

；当时，，在区间单调递减，因此在区间上，∵，∴，将其代入上

式得，令，，则，即有，，∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，

∴，

即任意，，∴，因此任意，.考点：1.利用导数研究函数的单调性；

2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调

性,

导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任

意的，等价于对任意的，,再构造函数,利用单调性,求出函数的最大值,

即,把看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,

难度大,综合性强.4．（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：

（1）当时，得其零点，判断在上的单调性，可知有极小值；（2）

把函数放缩，构造函数，利用导数研究函数的单调性，并求出其最小

值的范围即

可证得结论.试题解析：（1），所以，观察得，而在上单调递增，

所以当时，当时；所以在单调递减，在单调递增，故有极小值．证明：

（2）因

为，所以，令，则，易知在单调递增，，，所以设，则；当时，，

当时，；所以在上单调递减，上单调递增，所以，又因为，故，所以，

所以当且

仅当，即时等号成立，而，所以，即，所以，即．考点：利用导

数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用

导数研究函数

的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应

用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题

（1）中导函数

的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函

数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数的

单调性进行放

缩，转化为研究不含参数的函数的最小值，这是本题的技巧之一，

导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提

下可以设出极

值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一

个技巧.5．（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；

当时，，，

所以在上单调递增，无极值；（2）．【解析】试题分析：（1）

求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；

（2）分离

参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导

数求其最值．试题解析：（1）因为，所以当时，的定义域为；当，的

定义域为.又

，，故当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；当

时，，，所以在上单调递增，无极值.（2）解法一：当时，，由（1）

知当且仅当时

，，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，.当

时，由于，所以恒成立；当时，，要使不等式恒成立，只需，即.综上

得所求实数

的取值范围为.解法二：当时，所以，故令，则.由（1）可知，所

以当时，，当时，，所以.故当时，不等式恒成立.考点：1.导数在研究

函数

中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用．【方法点

睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究

不等式恒成立

中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立

问题，往往优先考虑分离参数，利用恒成立转化为求函数的最值问题，

再利用导数求

最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能

力.6．（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求导，由求出

即可；（

2）“函数的图象在直线的下方”等价于，构造函数，，求导，研

究函数的单调性与最值，证即可.试题解析：对求导，得，，，所以

（2）证明

：“函数的图象在直线的下方”等价于即要证，所以只要证.，，

趋于0时，，存在一个极值使得等价于所以故函数的图象在直线的

下方.2考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、

最值；3.函数与不等式.7．（1）的单调区间为，单调减区间为；（

2）.【解析】试题分析：（1）根据在点处的切线与直线平行，可

得，据此可求得，研究的符号变化即得函数的单调区间；（2）若对任

意的，若

恒成立，则有，分别求出和的最大值即可求得的取值范围.试题解

析：（1），即，令，解得或，所以函数的单调区间为，单调减区间为；

（2），

令函数的单调为，单调减区间为.当时，，又，恒成立，.考点：导

数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的

最值等.8

．（Ⅰ）的单调增区间为，的单调减区间为；（Ⅱ）当时，无极

值；当时，有极大值，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析．【解析】试

题分析：（Ⅰ）

利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对进行分类讨论，的

极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0．试题解析：

（Ⅰ）．令，即

，得，故的增区间为；令，即，得，故的减区间为；∴的单调增区

间为，的单调减区间为．（Ⅱ），当时，恒有∴在上为增函数，故在上

无极值；当

时，令，得,当单调递增，当单调递减．∴，无极小值；综上所述：

时，无极值时，有极大值,无极小值．（Ⅲ）证明：设则即证，只要

证．∵∴，

又在上单调递增∴方程有唯一的实根，且．∵当时，．当时，∴当

时，∵即，则∴9．（Ⅰ）的单调递